Türev. Adı bile bir korkunç geliyor değil mi? Sanki karanlıkta pusuda bekleyen sekiz bacaklı bir örümcek gibi. Adı bir başka karışık, anlamı bir başka. Wikipedia’daki türev tanımına bir bakacak olursak: “Türev, diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için de genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan …” sen bir şey anladın mı?

Türev ile ilgili sorun mu yaşıyorsun? Formülleri, karmaşık hesapları kafanı iyice mi bulandırıyor? Seni anlıyorum. Şunu bir düşün: türev ile ilgili sorun yaşamayan öğrenci yoktur. Evet, tanıdığın bütün öğrencilerin türevle ilgili az ya da çok sorunu olmuştur. Kimisi kulaktan dolma bilgilere bakarak ilk adımda pes eder, pek çoğu ise yarı yolda çabalamayı bırakıverir. Bazıları türeve dair olumlu bir bakış açısında olduğu için türev çözmeye bayılır. Türev sorularını bulmaca çözer gibi keyifle yapar. Çoğunluğun türev yapamadığını bilerek kendiyle gurur duyar.

Peki türev yapabilmek olağanüstü yetenek mi gerektirir? Herkes türev çözebilir mi? Türevle ilgili tüm bu sorunların ilk büyük sebebi, türevin yanlış şekilde öğretilmeye başlanmasıdır. Sen güzel güzel matematik konularıyla uğraşırken, kendini tepedeki x’i sayının önüne getirip başka sayılar bulmaya çalışırken buluverirsin. Dahası, yardım eli için internete koştuğunda bu karmakarışık tanımlarla ve karman çorman konu anlatımlarıyla karşılaşırsın.

Her şeye sıfırdan başlıyoruz. Hazır mısın? Bu satırdan sonrasını okurken türev ile ilgili tüm bildiklerini bir kenara bırak.

Türev nedir?

Türev eğimdir. Bu kadar 🙂 Tüm o karmakarışık gibi görünen işlemlerin amacı eğimi bulmaktır. Bunu zaten bilirsin ama tek amacın eğimi bulmak olduğunu unutma. O zaman işlemler daha bir anlamlı hale gelmeye başlar. Bu birinci nokta.

Çok daha önemlisi şimdi geliyor. Hepimizin türev öğrenirken merak ettiği ama cevapsız kalan soru ise “eğim ne işimize yarayacak?”tır. Neden türev diye bir şey var ve niye bu kadar detaylı işliyoruz sorusudur. İşte bu cevapsız kaldığı için türeve dair hiçbir şeye anlam veremeyiz.

Türev gerçekten önemli mi? İşimize yarayacak mı?

Ben de üniversitede gördüklerimle olayın iç yüzünü kavrayabildim. Gel sana da anlatayım 🙂

Zaman içeren her şey türevin konusu içindedir. Bir örnek vereyim. Kışın ailenle tatile çıkmışsın. Eve döndüğünde evin buz gibi olduğunu fark ediyorsun. Babana sormadan ısıtıcıyı açıp evin sıcaklığını arttırıyorsun (tabi baban kızıyor :)). Peki bunu bir grafiğe dökebilir miyiz? Babanın öfkesini ölçemeyiz belki ama elimizde bir takım sayılar varsa cevabımız evettir. Evet dediğimiz anda da türev, konuya zıplar. Yukarıdaki gibi bir grafiğimiz olsun. 1 dakikadaki değişimi (yani zaman içindeki değişimi) türev ile buluruz. İşte bu kadar. Evin ne kadar hızla ısındığını türev ile bulduk. Bunu belki kafandan da hesaplardın ama mühim olan burada türevi kullanabiliyor olmamız. Çünkü işler karıştığında (mesela ısıtıcı zaman geçtikçe daha hızlı ısıtmaya başlıyorsa) kafandan hesaplayamayacağın şeyleri türev ile bulabilirsin. Türev, her türlü işine yarıyor yani 😉

Peki türev, odamızı ısıtmaktan başka ne işe yarıyor?

Türevin uygulandığı alanların saymakla bitmez çünkü bir şeyler değişiyorsa türev de içerir. Mesela Türkiye’nin nüfus artışı. Kaç yılda ne kadar artış göstermiş. Arkadaşına attığın kar topunun anlık hızı, arkadaşının kafasına gelen kar topunun saniye başına yaptığı basınç(ehehe), vücudundaki kanın akış hızı… Kısacası her şey. Hesaplayacağımız şey değiştiğinde farklı bir türev hesabı yapmamız gerekir çünkü hesaplayacağımız denklemler değişir. Isıtıcı örneğinde düz doğrunun eğimi varken, ısıtıcı zamanla daha hızlı ısıtıyor olduğunda parabolik eğimi hesaplarız. Şimdi anlıyor musun neden türevin binbir hesaplamasıyla uğraştığını 🙂

Hele bir de mühendislik istiyorsan türev, kankan olmalıdır. İTÜ gibi mühendislik temelli okullarda yaklaşık 3 dönem boyunca (1,5 yıl) türev temelli matematik dersleri görürsün. Hedefin mühendislik değilse bile üniversitede muhtemelen yine türev göreceksin. Hiç olmasa bile LYS’deki puana katkısı seni iyice öğrenmeye ikna etmeye yeter, değil mi 🙂

Türevin önemini anladığını düşünüyorum. Şimdi türev nasıl çalışılır konusuna geçelim.

Türevin altın kuralı

3 büyükler olarak adlandırdığım türev, integral ve trigonometri konuları için altın bir kural vardır. Bu üç konu genelde en zorlayıcı konular olduğu için öğrencileri pes ettirirler. Dikkat edersen ‘zorlayıcı’ dedim, ‘zor’ demedim. Konular elbette kolay değil, ona ayrıca geleceğiz. Ancak bunların zorluğu eğer 5x ise öğrencilerin gördüğü 50x kadardır. İşte bu yüzden pes ederler. Bunun çaresi ise yüksek motivasyondur. Türev, integral ve trigonometri gibi kritik konular için öğrenciler ya ‘türev yapamıyorum’ ya da ‘türevde iyiyim’ şeklinde siyah beyaz olarak düşünür. İşte altın kural, en başından beri ‘türevde iyiyim’ şeklinde yaklaşım göstermektir. Bu, türeve dair verebileceğim en iyi tavsiye.

Burayı biraz daha açayım. Türevin ne olduğunu ve önemini artık biliyorsun. Türevin zor kısmı (‘zorlayıcı’ kısmı değil); logaritma, üslü sayılar vb. sayısız farklı alt konuda türev kullanmayı bilmeni gerektirmesidir. Her birinin kendine özgü detaylarını bilmen gerek. Bunlar öğrencilerin en çok dert ettiği şey iken aslen madalyonun öbür yüzü daha önemlidir. O da altın kural. Logaritmanın türevini alabilmek, ‘türev yapabiliyorum’ demek için yeterli olmaz. Bu yüzden altın kuralı bilmeli ve 3 büyüklerin her konusunda kullanmalısın.

Altın kuralı türevde nasıl kullanabilirim?

Altın kural, motivasyonu yüksek tutmaktır. LYS’ye ne kadar kaldığı hiç önemli değil. Eğer bir türev konusuna ilk defa çalışıyorsan (ya da anlamadığın bir konuyu tekrar öğreniyorsan) bulabildiğin en kolay kaynakla başla. Tekrarlıyorum, bulabildiğin en kolay soruları çöz.

Türev konusu, uzun bir yolculuk. Alt konular (üslü sayıların türevi, trigonometrik fonksiyonların türevi vb.) birbirinden bağımsız olduğu için her birini iyice bilmen gerekiyor. Bunu bir masanın bacakları gibi düşünebilirsin. Masanın bacakları türevin alt konuları olsun. Masanın tepesini koyabilmen için her bacağın çok sağlam olması gerekir. Bunun için de diğer hiçbir konuda yapmadığın kadar basitten başlamanı istiyorum. Bunu atlamaman gerçekten çok önemli. Tüm konuları iyice inşa edersen masanın tepesini yani “Türev yapabiliyorum!”u rahatlıkla koyabilirsin.

Masanın tepesinin sağlam durması için ise bacakları sürekli olarak yontmalısın. Ne demek istediğimi biliyorsun. Türev konusunda çok iyi olmak için ve türev masasının ayakta kalabilmesi için sürekli ama sürekli soru çözmelisin. Her gün. Her gün her alt konudan birkaç soru da olsa çözmen şart.

Bunları çok sağlam şekilde uygulaman için bir de, egonu bir kenara bırakmalısın. Ben az çok biliyorum deyip ortadan dalarsan, ya da o kadar vaktim yok deyip zıplarsan pişman olacağın garantidir. Bunun üstüne bir de kaybettiğin zamanı ve kırılmış motivasyonunu tamir etme çabasını ekle. Haberini şimdiden veriyorum, altın kuralı türevde uygula. Belki bir tık daha zaman alacak, belki arkadaşların ilk başlarda senden daha iyi çözüyor gibi görünecekler (çok klasik bir hatadır konuları bitirip üstüne aşırı soru çözmek. 1 türev konusunu bitirip 200 soru çözüp konu bitti demektense 60 soru çöz, sonra günlük 20 soru çöz daha iyi) ancak büyük resimde kazanan sen olacaksın.

Türevi altın kuralla çalış ve farkı gör 🙂